Hospitalische Regel¶

$$ \begin{array}{} \text{Falls: } & \lim_{x\rightarrow a}f(x) = \lim_{x\rightarrow a}g(x) = 0 \lor \lim_{x\rightarrow a}f(x) = \lim_{x\rightarrow a}g(x) = \infty \\ \Rightarrow &\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{array} $$

Taylor Entwicklung¶

$$ g(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $$$$ \begin{array}{} \text{Mit: }& x_0:=\text{"Entwicklungsstelle"}\\ & k:=\text{"Ordnung der Taylorentwicklung"} \end{array} $$

Lauft $k$ gegen Unendlich, kann die Taylorentwicklung $g(x)$ Funktion $f(x)$ nachahmen. Es seidemt $f(x)$ bestitzt kritische Polstellen, in diesem Fall wird $f(x)$ von der Entwicklungsstelle bis zur kritischen Stelle nachgeahmt.

Wichtige Taylorreihen

Komplizierte Funktionen annähernd berechnen¶

Beispiel $\sqrt{103}$ mit dem Taylorpolynom von $f(x)=\sqrt{x}$ an der Entwicklungsstelle $x_0=100$: $$ f(103)=\sqrt{103}\approx g(103)=\sum_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(100)}{k!}(103-100)^k $$

Taylorpolynom der Funktion $f(x)=(1+x)^a, a\in\mathbb{R}$¶

Entwicklungsstelle $x_0=0$ $$ g(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{a\cdot(a-1)\cdot...\cdot(a-(n-1))}{n!}\cdot x^n =\sum_{k=0}^{n}\frac{\frac{a!}{(a-k)!}}{k!}\cdot x^k =\sum_{k=0}^{n}\binom{a}{k}\cdot x^k $$ $$ \text{Für } |x|<1 \land n\rightarrow \infty \Rightarrow f(x)=g(x) $$

Nummerische Berechnung von Nullstellen¶

Nullstellensatz¶

Nullstelle wird in einem Intervall gesucht:

Da die Nullstelle nicht bekannt ist, andere Bedingungen:

$f(a)\cdot f(m) \rightarrow$

• wenn negative $\Rightarrow$ m > Nullstelle
• wenn positive $\Rightarrow$ m < Nullstelle

Newtonverfahren¶

$$ \displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}} $$

Integrale¶

TODO

Partielle Integration¶

Substitution¶

Komplexe Zahlen¶

$$ \begin{array}{} \mathbb{C}:=\mathbb{R}^2=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}\\ (a,b) = a+ib \in \mathbb{C} \end{array} $$

Es handelt sich dabei bei $a$ um den Realteil und bei $b$ um den Imgainärteil.

Verknüpfungen¶

$$ \begin{array}{cl} (a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2)&:=&(a_1+a_2,b_1+b_2)\\ (a_1,b_1)+(a_2,b_2)&:=&(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1) \end{array} $$

Betrag und Konjugation¶

$$ \begin{array}{} |z| &:=& \sqrt{a^2+b^2}\\ \overline{z} &:=& \sqrt{a-ib} \end{array} $$

Komplexe $e$-Funktion¶

$$ \begin{array}{cl} e^z&=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!}\\ e^{i\varphi}&=&1+i\varphi+\frac{(i\varphi)^2}{2}+\frac{(i\varphi)^3}{3}+...\\ &=&1+i\varphi-\frac{\varphi2}{2}-i\cdot\frac{\varphi^3}{3}+\frac{\varphi4}{4}+i\cdot\frac{\varphi^5}{5}--++...\\ &=&\underbrace{1-\frac{\varphi^2}{2}+\frac{\varphi^4}{4!}-\frac{\varphi^6}{6!}+-...}_{=cos(\varphi)}\cdot i\cdot\underbrace{(\varphi-\frac{\varphi^3}{3!}+\frac{\varphi^5}{5!}-\frac{\varphi^7}{7!}+-...)}_{=sin(\varphi)}\\ &=&cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi) = \underbrace{(cos(\varphi), sin(\varphi))}_{\in\text{Einheitskreis}} \end{array} $$

Polarkoordinaten¶

$$ z = r\cdot e^{i\varphi} $$

Mit:

$$ \begin{array}{cl} \text{Radius:} & r & = & \sqrt{a^2 + b^2}\\ \text{Winkel:} & \tan\varphi & = & \frac{b}{a} \end{array} $$

Multiplikation und Division¶

$$ \begin{array}{c} z_1 \cdot z_2 & = & r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2} & = & \overbrace{r_1r_2}^{\text{Streckung}}\cdot e^{i\overbrace{(\varphi_1+\varphi_2)}^{\text{Drehung}}}\\ \frac{z_1}{z_2} & = & \frac{r_1e^{i\varphi_1}}{ r_2e^{i\varphi_2} }& = & \overbrace{\frac{r_1}{r_2}}^{\text{Stauchung}}\cdot e^{i\overbrace{(\varphi_1-\varphi_2)}^{\text{umgekehrte Drehung}}} \end{array} $$

Komplexe Einheitswurzel¶

Für $n \in \mathbb N$ hat die Gleichung $z^n = a; a \in \mathbb R$ genau $n$ komplexe Lösungen.
Die $j$-te Lösung Lauten:

$$ \begin{array}{cl} z_j = e^{i\cdot\frac{2\pi}{n}\cdot j} = \left(e^{i \cdot \frac{2\pi}{n}}\right)^j=z_1^j \end{array} $$

Dabei wird $z_1=e^{i\cdot\frac{2\pi}{n}}$ als $n$-te Einheitswurzel bezeichnet.
-> Durch diese lassen sich alle anderen Nullstellen durch potenzieren ermitteln.

Zahlentheorie¶

Teilbarkeit¶

$$ \begin{array}{c} &a \in \mathbb Z \text{ teilbar durch } b \in \mathbb Z \setminus\{0\} &=& b|a & \\ &&=& \text{"}b\text{ ist Teiler von }a\text{"} \\ \\ \Leftrightarrow &a &=& b\cdot q& ; q \in \mathbb Z \end{array} $$

Wichtig! Zu den Teilern gehören auch negative Zahlen

mit Rest¶

$$ \begin{array}{c} &a &=& b \cdot q + r &; r \in {\mathbb{N}_0}_{<|b|} \\ \Leftrightarrow & r &=& a \mod b \end{array} $$

Der Rest $r$ ist dabei immer postiv!

Größter gemeinsammer Teiler (ggT)¶

$d \in \mathbb N$ ist genau dann der größte gemeinsame Teiler von $a$ und $b$, wenn gilt:

$$ d|a \land d|b $$

sowie $d$ dann die größte Zahl ist, welche die erste Bedingung erfühlt.

$$ d = \operatorname {ggT} (a,b) $$

Euklidischer Algorithmus¶

$$ \begin{array}{c} r_{0}&=&r_{1}\cdot q_{1}+r_{2}\\ r_{1}&=&r_{2}\cdot q_{2}+r_{3}\\ &\vdots& \\ r_{n-2}&=&r_{n-1}\cdot q_{n-1}+r_n \\ r_{n-1}&=&r_{n}\cdot q_{n}+0 \\ \\ \operatorname {ggT} (r_0,r_1)&=&r_{n} \end{array} $$

Korrektheit
Da bei jeder Division der ggT im Rest enthalten ist, wird dieser bei der letzten Division (Rest ist 0) sichtbar.

Beispiel¶

$$ \begin{array}{cl} \color{OliveGreen}{1071}&=&2\cdot \color{Orange}{462}&+&\color{Blue}{147}\\ \color{Orange}{462}&=&3\cdot \color{Blue}{147}&+&\color{OrangeRed}{21}\\ \color{Blue}{147}&=&7\cdot \color{OrangeRed}{21}&+&0 \end{array} $$

Durch rückläufiges Einsetzen des ggT, kann erkannt werden, dass die Zahl $a$ aus diesem besteht.

$$ \begin{array}{c} \color{OliveGreen}{1071}&=&2\cdot \color{Orange}{462}&+&\color{Blue}{147}\\ &=&3\cdot ( {\color{Blue}{147}} +{\color{OrangeRed}{21}})&+&\color{Blue}{147} &=&4\cdot \color{Blue}{147}&+&3 \cdot \color{OrangeRed}{21}\\ &=&4\cdot (7\cdot {\color{OrangeRed}{21}} +0) &+&3 \cdot \color{OrangeRed}{21} &=& 51 \cdot \color{OrangeRed}{21} \end{array} $$

Dasselbe zeigt sich auch bei der Zahl $b$.

$$ \begin{array}{c} \color{Orange}{462}&=&3\cdot \color{Blue}{147}&+&\color{OrangeRed}{21}\\ &=& 3\cdot (7\cdot {\color{OrangeRed}{21} }+0)&+&\color{OrangeRed}{21} &=& 22 \cdot \color{OrangeRed}{21} \end{array} $$

Die Vorfaktoren zum ggT bei $a$ und $b$ (hier 51 und 22) sind hierbei immer teilerfremd.

Lemma von Bézout zur Darstellung des ggT¶

$$ \begin{array}{c} d = l \cdot a + m \cdot b & l,m \in \mathbb Z \end{array} $$

$l$ und $m$ lassen sich dabei durch den Euklidischen Algorithmus bestimmen, indem

1. bei jedem Schritt auf den Rest aufgelöst und
2. dieser durch eine Summe darstellen, dessen Summanden dann jeweils den Faktor $a$ bzw. $b$ enthalten.

Hier $a$ und $b$ als $r_0$ und $r_1$:

$$ \begin{array}{c} r_{0}&=&r_{1}\cdot q_{1}+r_{2} &\Leftrightarrow& r_2 &=& r_0-r_{1}\cdot q_{1} &=& l_1\cdot r_0 + m_1\cdot r_1\\ r_{1}&=&r_{2}\cdot q_{2}+r_{3} &\Leftrightarrow& r_3 &=& r_1-r_{2}\cdot q_{2} &=& l_2\cdot r_0 + m_2\cdot r_1\\ r_{2}&=&r_{3}\cdot q_{3}+r_{4} &\Leftrightarrow& r_4 &=& r_2-r_{3}\cdot q_{3} &=& l_3\cdot r_0 + m_3\cdot r_1\\ &&&\vdots \\ r_{n-2}&=&q_{n}\cdot r_{n-1}+r_n &\Leftrightarrow& r_n &=& r_{n-2} - q_{n}\cdot r_{n-1} &=& l_n\cdot r_0 + m_n\cdot r_1\\ r_{n-1}&=&q_{n+1}\cdot r_{n}+0\\ \end{array} $$

Primzahlen¶

Eine Primzahl $p\in \mathbb N_{>1}$ ist nur durch sich selbst oder der 1 teilbar. Sie sind die "multiplikativen Bausteine" der natürlichen Zahlen.

Satz von Euklid: Besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Denn (Beweis durch Widerspruch):
Sei $p_n$ die letzte Primzahl, dann erhält man jedoch durch Addieren mit 1...

$$ q:=p_1\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1 $$

... eine weitere Primzahl, da nun durch Dividieren von mindestens einer Primzahl $p_j$ ein Rest $\frac{1}{p_j}$ bleiben würde:

$$ \frac{q}{p_j} = frac{p_1\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_j \cdot ... \cdot p_n + 1}{p_j} = p_1\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + \frac{1}{p_j} $$

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)¶

$m \in \mathbb N$ ist genau dann das kleinste gemeinsame Vielfaches von $a$ und $b$, wenn gilt:

$$ a|m \land b|m $$

sowie $m$ dann die kleinste Zahl ist, welche die erste Bedingung erfühlt.

$$ m = \operatorname {kgV} (a,b) $$

ggT vs kgV¶

Für $a$ und $b\in \mathbb N_{>1}$ bestehend aus den Primzahlen:

$$ \begin{array}{c} a&=&a_1\cdot a_2 \cdot ...\cdot a_n \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_m \\ b&=&b_1\cdot b_2 \cdot ...\cdot b_n \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_m \end{array} $$

gilt:

$$ \begin{array}{c} \operatorname{kgV}(a,b)&=& \frac{a\cdot b}{\operatorname{ggT}(a,b)} \\ &=&\frac{a_1\cdot a_2 \cdot ...\cdot a_n \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_m \cdot b_1\cdot b_2 \cdot ...\cdot b_n \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_m}{p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_m} \\ &=& a_1\cdot a_2 \cdot ...\cdot a_n \cdot b_1\cdot b_2 \cdot ...\cdot b_n \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_m \end{array} $$

Kongruenzrechnung¶

Für $a, b\in \mathbb Z$ und $m \in N_{>1}$ gilt...

$$ \begin{array}{c} a\equiv b (\mod m) \end{array} $$

Gesprochen:$a$ ist kongruent zu $b$ modulo $m$

wenn der Abstand zwischen $a$ und $b$ ein Vielfaches des Modulus $m$ ist:

$$ \begin{array}{c} a\equiv b(\mod m): &\Leftrightarrow& m | (a-b) \\ &\Leftrightarrow& \exists q \in \mathbb Z: a-b = q\cdot m \\ &\Leftrightarrow& \exists q \in \mathbb Z: a = b + q\cdot m \\ \end{array} $$